剑指Offer(三十):连续子数组的最大和(dp)

连续子数组的最大和:
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题目描述:

    HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢?例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组,返回它的最大连续子序列的和,你会不会被他忽悠住?(子向量的长度至少是1)
示例 1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6

解题思路:

此题可以用动态规划来达到最优解,如下:

状态定义: 设动态规划列表 dpdp ,dp[i] 代表以元素 nums[i] 为结尾的连续子数组最大和。
转移方程:dp[i – 1] ≤ 0 ,说明 dp[i – 1] 对 dp[ i ] 产生负贡献,即 dp[i – 1] + nums[ i ] 还不如 nums[ i ] 本身大。
    dp[i – 1] > 0 时:执行 dp[ i ] = dp[i – 1] + nums*[ i ];
    dp[i – 1] ≤ 0 时:执行 dp[ i ] = nums[ i ];
初始状态: dp[ 0 ] = nums[ 0 ] ,即以 nums[ 0 ] 结尾的连续子数组最大和为 nums[ 0 ] 。
返回值: 返回 dp 列表中的最大值,代表全局最大值。


复杂度:

时间复杂度: O(N), 线性遍历数组 numsnums 即可获得结果,使用 O(N) 时间。
空间复杂度:O(1),使用常数大小的额外空间。

代码实现:

public class Solution {
public static int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array){
if (array == null || array.length == 0) {
return 0;
}

int n = array.length;
int[] dp = new int[n];
dp[0] = array[0];
int result = dp[0];
for (int i = 1; i < n; ++i){
dp[i] = Math.max(dp[i-1], 0) + array[i];
result = Math.max(result, dp[i]);
}
return result;
}
}

空间复杂度降低:
    由于 dp[ i ] 只与 dp[i – 1] 和 nums[ i ] 有关系,因此可以将原数组 nums 用作 dp 列表,即直接在 nums 上修改即可。
由于省去 dp 列表使用的额外空间,因此空间复杂度从 O(N) 降至 O(1)

代码实现:

class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int res = nums[0];
for(int i = 1; i < nums.length; i++) {
nums[i] += Math.max(nums[i - 1], 0);
res = Math.max(res, nums[i]);
}
return res;
}
}

Peace!

作者:杨Alan

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